Question

12．已知：點A（4，0），點B是y軸正半軸上一點，如圖1，以AB為直角邊作等腰直角三角形ABC．
（1）當點B坐標為（0，1）時，求點C的坐標；
（2）如圖2，以OB為直角邊作等腰直角△OBD，點D在第一象限，連接CD交y軸于點E．在點B運動的過程中，BE的長是否發生變化？若不變，求出BE的長；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過C作CM⊥y軸于M，通過判定△BCM≌△ABO（AAS），得出CM=BO=1，BM=AO=4，進而得到OM=3，據此可得C（-1，-3）；
（2）過C作CM⊥y軸于M，根據△BCM≌△ABO，可得CM=BO，BM=OA=4，再判定△DBE≌△CME（AAS），可得BE=EM，進而得到BE=$\frac{1}{2}$BM=2．

解答 解：（1）如圖1，過C作CM⊥y軸于M．
∵CM⊥y軸，
∴∠BMC=∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°
∵∠ABC=90°，
∴∠CBM+∠ABO=90°，
∴∠CBM=∠BAO，
在△BCM與△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMC=∠AOB}\\{∠CBM=∠BAO}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴CM=BO=1，BM=AO=4，
∴OM=3，
∴C（-1，-3）；

（2）在B點運動過程中，BE長保持不變，BE的長為2，
理由：如圖2，過C作CM⊥y軸于M，
由（1）可知：△BCM≌△ABO，
∴CM=BO，BM=OA=4．
∵△BDO是等腰直角三角形，
∴BO=BD，∠DBO=90°，
∴CM=BD，∠DBE=∠CME=90°，
在△DBE與△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠CME}\\{∠DEB=∠CEM}\\{BD=MC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CME（AAS），
∴BE=EM，
∴BE=$\frac{1}{2}$BM=2．

點評 本題考查了全等三角形的判定以及全等三角形對應邊、對應角相等的性質，熟練掌握三角形全等的判定方法，判定△DBE≌△CME是解第（2）題的關鍵．