Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：EB=EC；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ODEC是正方形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用EC為⊙O的切線，ED也為⊙O的切線可求EC=ED，再求得EB=EC，EB=ED可知點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；
（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時，四邊形ODEC是正方形，由等腰三角形的性質(zhì)，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，即可得到結(jié)論．

解答 解：
（1）證明：連接CD，
∵AC是直徑，∠ACB=90°，
∴BC是⊙O的切線，∠ADC=90°．
∵DE是⊙O的切線，
∴DE=CE（切線長定理）．
∴∠DCE=∠CDE，
又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，
∴∠EBD=∠EDB．
∴DE=BE，
∴CE=BE．
（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時，四邊形ODEC是正方形．理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形．
∴∠B=45°，
∴∠DCE=∠CDE=45°，則∠DEB=90°，
又∵OC=OD，∠ACB=90°，
∴∠OCD=∠ODC=45°，
∴∠ODE=90°，
∴四邊形ODEC是矩形，
∵EC=ED，
∴四邊形ODEC是正方形．

點(diǎn)評 本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．