Question

11．如果直線l：y=kx+b與曲線（包括折線、弧線、雙曲線、拋物線等）有兩個不同的交點我們把這兩點間的線段的長度叫直線l與曲線的“非凡距離”
（1）已知直線l：y=x+4與坐標軸相交于點A、B，坐標系原點為O，求直線l與折線AOB的非凡距離；
（2）若直線l：y=2x+b與雙曲線y=-$\frac{1}{x}$的非凡距離為$\sqrt{5}$，求b的值；
（3）已知直線l：y=x-2與拋物線y=-x²+mx-1交于點P，Q，若拋物線與y軸相交于N點，⊙M恰好經過P、Q，當直線l與拋物線的非凡距離取最小值時，求點N到⊙M的圓心M的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出AB的長即可解決問題．
（2）如圖1中，設y=2x+b與雙曲線y=-$\frac{1}{x}$的交點為A、B．作BC⊥x軸于C，AE⊥BC于E．由AB=$\sqrt{5}$，則AE=1，BE=2，設A（m，-$\frac{1}{m}$），則B（m+1，-$\frac{1}{m}$+2），可得（m+1）（-$\frac{1}{m}$+2）=-1，解得m=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，推出A（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）或（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$），再利用待定系數法即可解決問題．
（3）如圖2中，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-{x}^{2}+mx-1}\end{array}\right.$消去y得到，x²+（m-1）x-1=0，可得x₁+x₂=1-m，x₁x₂=-1，y₁=x₁-2，y₂=x₂-2，推出y₁+y₂=m-5，y₁y₂=5-2m，
求出PQ，利用二次函數的性質，推出m=1時，非凡距離PQ的值最小，求出點P、Q的坐標，即可解決問題．

解答 解：（1）對于直線y=x+4，令x=0得y=4，令y=0得x=-4，
不妨設A（0，4），B（-4，0），
∴OA=OB=4，
∴直線l與折線AOB的非凡距離=AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

（2）如圖1中，設y=2x+b與雙曲線y=-$\frac{1}{x}$的交點為A、B．作BC⊥x軸于C，AE⊥BC于E．

∵AB=$\sqrt{5}$，則AE=1，BE=2，設A（m，-$\frac{1}{m}$），則B（m+1，-$\frac{1}{m}$+2），
∴（m+1）（-$\frac{1}{m}$+2）=-1，
解得m=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∴A（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）或（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$），
把點A坐標代入y=2x+b中，可得b=$\frac{3\sqrt{5}+1}{2}$或$\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$．

（3）如圖2中，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-{x}^{2}+mx-1}\end{array}\right.$消去y得到，x²+（m-1）x-1=0，
∴x₁+x₂=1-m，x₁x₂=-1，y₁=x₁-2，y₂=x₂-2，
∴y₁+y₂=m-5，y₁y₂=5-2m，
∴PQ=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（1-m）^{2}+4+（m-5）^{2}-4（5-2m）}$=$\sqrt{2（m-1）^{2}+8}$，
∵2＞0，
∴m=1時，非凡距離PQ的值最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-{x}^{2}+x-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
不妨設P（-1，-3），Q（1，-1），設線段PQ與y軸的解得為C，則C（0，-2），
∴PC=CQ=$\sqrt{2}$，
∵⊙M經過P、Q兩點，
∴點M在線段PQ的中垂線EC上，作NE⊥CE于E，
∵OC=OB=2，
∴∠OCB=∠ECN=45°，
∵N（0，-1），
∴ON=1，CN=1，
在Rt△NEC中，NE=CN•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴點N到⊙M的圓心M的距離的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、反比例函數的應用、一元二次方程的根與系數關系等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數解決問題，用轉化的思想思考問題，學會構建二次函數解決最值問題，屬于中考壓軸題．