Question

13．如圖，拋物線y=$\frac{2}{9}$x²+bx+c經過點A（6，0）、B（3，4），與y軸交于點C，連結AB，BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點M為拋物線上的動點，點B關于直線AM的對稱點B'在x軸上，求點M的坐標；
（3）點P以每秒2個單位長度的速度O→C→B→A勻速運動，同時點Q以每秒1個單位長度沿A→O勻速運動，設運動的時間為t，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，求t為何值時，以點B、P、Q為頂點的三角形是直角三角形？（雙動點與直角三角形存在性）

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法把問題轉化為方程組解決即可．
（2）分兩種情形求解即可①當AM平分∠OAB時，點B關于直線AM的對稱點B'在x軸上，②作AK⊥AM，則點B關于直線AM的對稱點B'在x軸上，分別利用方程組求出交點坐標即可．
（3）分四種情形討論①如圖2中，當∠PBQ=90°時，作BK⊥OA于K則四邊形BCOK是矩形，BC=OK=3，BK=OC=4，AK=3．②如圖3中，當BQ⊥OA時，∠PBQ=90°，△PBQ是直角三角形，此時t=3．③如圖4中，當PQ⊥OA時，∠QPB=90°，△PQB是直角三角形，列出方程即可．④如圖5中，當∠QPB=90°時，由△ABK∽△AQP得到$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AK}$，可得方程$\frac{t}{5}$=$\frac{12-2t}{3}$，由此即可解決問題．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{-8+6b+c=0}\\{-2+3b+c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{2}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x+4．

（2）如圖1中，

①當AM平分∠OAB時，點B關于直線AM的對稱點B'在x軸上，
∴AB′=AB=5，B′（1，0），
∴直線BB′的解析式為y=2x-2，
∴直線AM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=-\frac{2}{9}{x}^{2}+\frac{2}{3}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{4}}\\{y=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$，
∴點M的坐標為（-$\frac{3}{4}$，$\frac{27}{8}$）．
②作AK⊥AM，則點B關于直線AM的對稱點B'在x軸上，
∵直線AK的解析式為y=2x-12，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-12}\\{y=-\frac{2}{9}{x}^{2}+\frac{2}{3}x+4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-12}\\{y=-36}\end{array}\right.$，
∴點M的坐標為（-12，-36），
綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（-$\frac{3}{4}$，$\frac{27}{8}$）或（-12，-36）．

（4）①如圖2中，當∠PBQ=90°時，作BK⊥OA于K則四邊形BCOK是矩形，BC=OK=3，BK=OC=4，AK=3．

∵PB²+BQ²=PQ²，
∴3²+（4-2t）²+4²+（3-t）²=（2t）²+（6-t）²，
解得t=$\frac{7}{5}$．
②如圖3中，當BQ⊥OA時，∠PBQ=90°，△PBQ是直角三角形，此時t=3．

③如圖4中，當PQ⊥OA時，∠QPB=90°，△PQB是直角三角形，此時（2t-4）+t=6，t=$\frac{10}{3}$．

④如圖5中，當∠QPB=90°時，

由△ABK∽△AQP得到$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AK}$，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{12-2t}{3}$，
∴t=$\frac{60}{13}$．
綜上所述，當△PBQ是直角三角形時，t的值為$\frac{7}{5}$s或3s或$\frac{10}{3}$s或$\frac{60}{13}$s．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、勾股定理，兩條直線垂直k的乘積為-1、直角三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建一次函數，利用方程組求交點坐標，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．