Question

19．如圖，點E，F分別為正方形ABCD的邊BC，CD上一點，AC，BD交于點O，且∠EAF=45°，AE，AF分別交對角線BD于點M，N，則有以下結論：①∠AEB=∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S_△AEF=2S_△AMN
以上結論中，正確的是①②③④（請把正確結論的序號都填上）

Answer 1

分析 如圖，把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，由旋轉的性質得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，由已知條件得到∠EAH=∠EAF=45°，根據全等三角形的性質得到EH=EF，∴∠AEB=∠AEF，求得BE+BH=BE+DF=EF，故②正確；根據三角形的外角的性質得到∠ANM=∠AEB，于是得到∠AEB=∠AEF=∠ANM；故①正確；根據相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正確；由△AMN∽△BME，得到$\frac{AM}{BM}=\frac{MN}{ME}$，推出△AMB∽△NME，根據相似三角形的性質得到∠AEN=∠ABD=45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根據勾股定理得到AE=$\sqrt{2}$AN，根據相似三角形的性質得到EF=$\sqrt{2}$MN，于是得到S_△AEF=2S_△AMN故④正確．

解答 解：如圖，把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，
由旋轉的性質得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AF}\\{∠EAH=∠EAF=45°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF，
∴∠AEB=∠AEF，
∴BE+BH=BE+DF=EF，故②正確；
∵∠ANM=∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN，
∠AEB=90°-∠BAE=90°-（∠HAE-∠BAH）=90°-（45°-∠BAH）=45°+∠BAH，
∴∠ANM=∠AEB，
∴∠AEB=∠AEF=∠ANM；故①正確；
∵AC⊥BD，
∴∠AOM=∠ADF=90°，
∵∠MAO=45°-∠NAO，∠DAF=45°-∠NAO，
∴△OAM∽△DAF，故③正確；
連接NE，
∵∠MAN=∠MBE=45°，∠AMN=∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∴$\frac{AM}{BM}=\frac{MN}{ME}$，
∴$\frac{AM}{MN}=\frac{BM}{ME}$，∵∠AMB=∠EMN，
∴△AMB∽△NME，
∴∠AEN=∠ABD=45°，
∵∠EAN=45°，
∴∠NAE=∠NEA=45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AN，
∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME，
∴△AMN∽△AFE，
∴$\frac{MN}{EF}=\frac{AN}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴EF=$\sqrt{2}$MN，
∵AB=$\sqrt{2}$AO，
∴S_△AEF=S_△AHE=$\frac{1}{2}$HE•AB=$\frac{1}{2}$EF•AB=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{2}$MN$•\sqrt{2}$AO=2×$\frac{1}{2}$MN•AO=2S_△AMN．故④正確．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，熟記各性質并利用旋轉變換作輔助線構造成全等三角形是解題的關鍵．