Question

11．如圖，已知直線y=3x-3分別交x軸，y軸于A，B兩點，拋物線y=x²+bx+c經過A，B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與點A不重合），點D是拋物線的頂點，請解答下列問題．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△BCD的形狀，并說明理由；
（3）求△BCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據直線y=3x-3分別交x軸，y軸于A，B兩點，可以求得點A和點B的坐標，由拋物線y=x²+bx+c經過A，B兩點，從而可以得到拋物線的解析式；
（2）根據（1）中的函數解析式可以分別求得點C和點D的坐標，從而可以求得BC、BD、CD的長，然后根據勾股定理的逆定理即可解答本題；
（3）根據（2）中的判斷，然后根據三角形的面積公式即可解答本題．

解答 解：（1）∵直線y=3x-3分別交x軸，y軸于A，B兩點，
當y=0時，x=1，當x=0時，y=-3，
∴點A（1，0），點B（0，-3），
∵拋物線y=x²+bx+c經過A，B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{1}^{2}+b×1+c=0}\\{{0}^{2}+b×0+c=-3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x-3；
（2）△BCD是直角三角形，
理由：∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4=（x+3）（x-1），
∴當y=0時，x=-3或x=1，此拋物線的頂點坐標是（-1，-4），
∵拋物線y=x²+bx+c經過A，B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與點A不重合），點D是拋物線的頂點，
∴點C（-3，0），點D（-1，-4），
∵點B（0，-3），
∴BC=$\sqrt{（-3-0）^{2}+[0-（-3）]^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
CD=$\sqrt{[（-3）-（-1）]^{2}+[0-（-4）]^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
BD=$\sqrt{[0-（-1）]^{2}+[（-3）-（-4）]^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵$（3\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}=18+2=20=（2\sqrt{5}）^{2}$，
∴BC²+BD²=CD²，
∴△BCD是直角三角形；
（3）由（2）知△BCD是直角三角形，∠CBD=90°，$BC=3\sqrt{2}$，CD=$2\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{2}$，
∴△BCD的面積是：$\frac{BC•BD}{2}=\frac{3\sqrt{2}•\sqrt{2}}{2}=3$，
即△BCD的面積是3．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點坐標、一次函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求二次函數解析式，解答此類問題的關鍵是明確題意，求出各點的坐標，利用勾股定理的逆定理和三角形的面積解答，注意（2）中要先做出判斷．