Question

20．已知，如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D是AB的中點，DE⊥DF，點E，F分別在AC，BC上．求證：CE=BF．

Answer 1

分析 連接CD，構建全等三角形，證明△ECD≌△FBD，即可得出結論．

解答 解：連接CD，如圖所示：
∵等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D是AB的中點，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，∠ECD=∠B=45°，
∵AC=BC，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠B=45°，
∴∠CDF+∠BDF=90°，
∵ED⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠EDC=∠BDF，在△ECD和△FBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ECD=∠B}&{\;}\\{CD=BD}&{\;}\\{∠EDC=∠FDB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△FBD（ASA），
∴CE=BF．

點評 本題考查了等腰直角三角形和全等三角形的性質和判定，運用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰三角形三線合一的性質，同時要熟知等腰直角三角形的特殊性：如兩個銳角都是45°；在全等三角形的證明中，常運用同角的余角相等來證明角相等．