Question

5．如圖，已知拋物線y₁=-x²+4x和直線y₂=2x．我們約定：當x任取一值時，x對應的函數值分別為y₁、y₂，若y₁=y₂，記M=y₁=y₂，下列判斷：①當x＞2時，M=y₂；②當x＜0時，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，則x=1．其中正確的有（　　）

• A． ③④
• B． ②③
• C． ②④
• D． ①④

Answer 1

分析 若y₁=y₂，記M=y₁=y₂．首先求得拋物線與直線的交點坐標，利用圖象可得當x＞2時，利用函數圖象可以得出y₂＞y₁；當0＜x＜2時，y₁＞y₂；當x＜0時，利用函數圖象可以得出y₂＞y₁；然后根據當x任取一值時，x對應的函數值分別為y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的較小值記為M；即可求得答案．

解答 解：∵當y₁=y₂時，即-x²+4x=2x時，
解得：x=0或x=2，
∴當x＞2時，利用函數圖象可以得出y₂＞y₁；當0＜x＜2時，y₁＞y₂；當x＜0時，利用函數圖象可以得出y₂＞y₁；
∴①錯誤；

∵拋物線y₁=-x²+4x，直線y₂=2x，當x任取一值時，x對應的函數值分別為y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的較小值記為M；
∴當x＜0時，根據函數圖象可以得出x值越大，M值越大；
∴②正確；

∵拋物線y₁=-x²+4x的最大值為4，故M大于4的x值不存在，
∴③正確；

∵如圖：當0＜x＜2時，y₁＞y₂；
當M=2，2x=2，x=1；
x＞2時，y₂＞y₁；
當M=2，-x²+4x=2，x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$（舍去），
∴使得M=2的x值是1或2+$\sqrt{2}$，
∴④錯誤；
∴正確的有②③兩個．
故選B．

點評 本題考查了二次函數與一次函數綜合應用．注意掌握函數增減性是解題關鍵，注意數形結合思想與方程思想的應用．