Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，點E為BC的中點，連接DE．
（1）試判斷DE和⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠BAC=30°，DE=3，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接DO，DB，由圓周角定理就可以得出∠ADB=90°，可以得出∠CDB=90°，根據(jù)E為BC的中點可以得出DE=BE，就有∠EDB=∠EBD，OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD，由的等式的性質(zhì)就可以得出∠ODE=90°就可以得出結(jié)論；
（2）由（1）得BC=2DE=6，由BC=2DE求得BC的長，根據(jù)AD=$\frac{BD}{tanA}$可得答案．

解答 解：（1）連接DO，DB，

∴OD=OB
∴∠ODB=∠OBD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°．
∵E為BC的中點，
∴DE為Rt△BCD斜邊的中線，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
即∠EDO=∠EBO．
∵∠ABC=90°，
∴∠EDO=90°．
∴DE為⊙O的切線；

（2）由（1）知BC=2DE=6，
又∵∠BAC=30°，
∴∠C=60°，
∴BD=BCsinC=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{BD}{tanA}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=9．

點評 本題主要考查了切線的判定、圓周角定理及其推論、三角函數(shù)的應用等幾何知識點及其應用問題；熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．