Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=mx+4與x，y軸分別交于A，B兩點，直線y=-$\frac{1}{3}$x+n與x，y軸分別交于C，D兩點，點E（-$\frac{9}{7}$，$\frac{10}{7}$）是這兩條直線的交點．
（1）求m，n的值；
（2）若點P是直線AB上一動點（不與點A重合），若△AOB與△ACP相似時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把交點E的坐標分別代入兩直線解析式即可求得m、n的值；
（2）由兩直線解析式可分別求得A、B、C的坐標，可設出P點坐標，分別表示出AP、PC的長，且可求得AC、AO、BO的長，根據相似三角形的性質可得到關于P點坐標的方程，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵點E（-$\frac{9}{7}$，$\frac{10}{7}$）是直線y=mx+4和直線y=-$\frac{1}{3}$x+n的交點，
∴$\frac{10}{7}$=-$\frac{9}{7}$m+4，$\frac{10}{7}$=-$\frac{1}{3}$×（-$\frac{9}{7}$）+n，
解得m=2，n=1；
（2）由（1）可知直線AB解析式為y=2x+4，
令y=0可得2x+4=0，解得x=-2，令x=0可得y=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
直線CD解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，
令y=0可得-$\frac{1}{3}$x+1=0，解得x=3，
∴C（3，0），
∴AO=2，BO=4，AC=3-（-2）=5，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵P點在直線AB上，
∴可設P點坐標為（t，2t+4），
∵Rt△AOB與Rt△ACP相似，
∴有∠ACP=∠AOB=90°和∠AOB=∠APC=90°兩種情況，
①當∠ACP=∠AOB=90°時，則可知t=3，代入直線AB解析式可得y=2×3+4=10，
∴P（3，10）；
②當∠APC=∠AOB=90°時，
∵△AOB∽△APC，
∴$\frac{OA}{AP}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{2}{AP}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AP=$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{[t-（-2）]^{2}+（2t+4）^{2}}$=$\sqrt{5}$，解得t=-1或t=-3，當t=-3時，∠APC≠90°，舍去，
∴P（-1，2）；
綜上可知，當△AOB與△ACP相似時，點P的坐標為P（3，10）或P（-1，2）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及函數圖象的交點、勾股定理、相似三角形的性質、分類討論及方程思想等知識．在（1）中掌握兩函數圖象的交點坐標滿足每一個函數解析式是解題的關鍵，在（2）中用P點的坐標分別表示出相應線段長度，利用相似三角形的性質得到關于坐標的方程是解題的關鍵，注意分兩種情況．本題考查知識點相對較少，綜合性較強，但難度不大，較易得分．