Question

2．如圖，已知E是正方形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F．
（1）求證：△ABF∽△EAD；
（2）當AD=2$\sqrt{10}$，$\frac{DE}{EC}$=$\frac{1}{2}$時，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似即可證明．
（2）首先求出DE、AE，由△ABF∽△EAD，得$\frac{AF}{DE}$=$\frac{AB}{AE}$，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠D=90°，
∴△ABF∽△EAD．

（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=2$\sqrt{10}$
∵$\frac{DE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{10}）^{2}+（\frac{2}{3}\sqrt{10}）^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
∵△ABF∽△EAD，
∴$\frac{AF}{DE}$=$\frac{AB}{AE}$，
∴$\frac{AF}{\frac{2}{3}\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{\frac{20}{3}}$，
∴AF=2．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考常考題型．