Question

13．如圖，在平面直角坐標系中xOy中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸相交于點A（-1，0）和點B，與y軸相交于點C（0，3），拋物線的頂點為點D，聯結AC、BC、DB、DC．
（1）求這條拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）求證：△ACO∽△DBC；
（3）如果點E在x軸上，且在點B的右側，∠BCE=∠ACO，求點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線y=-x²+bx+c經過點A（-1，0），點C（0，3），即可求得b，c的值，進而得到拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）先根據B（3，0），A（-1，0），D（1，4），求得CD=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，AO=1，CO=3，進而得到CD²+BC²=BD²，從而判定△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，最后根據∠AOC=∠DCB，$\frac{AO}{DC}$=$\frac{CO}{BC}$，判定△ACO∽△DBC；
（3）先設CE與BD交于點M，根據MC=MB，得出M是BD的中點，再根據B（3，0），D（1，4），得到M（2，2），最后根據待定系數法求得直線CE的解析式，即可得到點E的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經過點A（-1，0），點C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-1-b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達式為y=-x²+2x+3，
∴頂點D的坐標為（1，4）；

（2）∵當y=0時，0=-x²+2x+3，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），
又∵A（-1，0），D（1，4），
∴CD=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，AO=1，CO=3，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，
∴∠AOC=∠DCB，
又∵$\frac{AO}{DC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CO}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AO}{DC}$=$\frac{CO}{BC}$，
∴△ACO∽△DBC；

（3）設CE與BD交于點M，
∵△ACO∽△DBC，
∴∠DBC=∠ACO，
又∵∠BCE=∠ACO，
∴∠DBC=∠BCE，
∴MC=MB，
∵△BCD是直角三角形，
∴∠BCM+∠DCM=90°=∠CBM+∠MDC，
∴∠DCM=∠CDM，
∴MC=MD，
∴DM=BM，即M是BD的中點，
∵B（3，0），D（1，4），
∴M（2，2），
設直線CE的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{2=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線CE為：y=-$\frac{1}{2}$x+3，
當y=0時，0=-$\frac{1}{2}$x+3，
解得x=6，
∴點E的坐標為（6，0）．

點評 本題屬于二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式、相似三角形的判定、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應角相等．