Question

20．如圖，菱形ABCD邊長為5，tan∠DAB=$\frac{4}{3}$，將菱形繞點B按順時針方向旋轉角α（0°＜α＜∠DBA）得到菱形FBHE（點A的對應點為點F），EF與AD交于點M，連接BM．
（1）當AM=4時，求BM的長；
（2）求證：MB平分∠AME；
（3）連接CH并延長交AB的延長線于點G，當AG=12時，求AM的長．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構建直角三角形，根據三角函數和菱形的邊長為5得：BP=4，AP=3，再求PM的長，利用勾股定理求BM的長；
（2）作輔助線，證明PB=BN，證△ABP≌△FBN；最后結合角平分線的性質證得結論；
（3）如圖2，過點M作MQ⊥AG于點Q，過C作CH⊥AG于點H，構建相似三角形△AMB∽△BCG，根據該相似三角形的對應邊成比例得到求得MQ的長度．結合已知條件tan∠DAB=$\frac{4}{3}$，來求邊AQ的長度，即可得到AM的長．

解答 解：（1）如圖1，過點A作AM⊥OC于點M，
在直角△AOM中，∵tan∠DAB=$\frac{4}{3}$，OA=5，
∴BP=4，AP=3，
∵AM=4，
∴PM=AM-AP=4-3=1，
∴BM=$\sqrt{P{M}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$；

（2）如圖1，過點A作AN⊥EF于點N，
∵在△ABP與△FBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠F}\\{∠APB=∠FNB=90°}\\{AB=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△FBN（AAS），
∴BP=BN，
∴MB平分∠AME；
（3）如圖2，過點M作MQ⊥AG于點Q，過C作CH⊥AG于點H，
由旋轉可知：∠ABF=∠CBH=α，
∵BC=BH，
∴∠BCH=$\frac{180°-α}{2}$，
∵∠A=∠F，∠ATB=∠MTF，
∴∠ABF=∠FMT=α，
由（2）得：∠AMB=∠BME=$\frac{180°-α}{2}$，
∴∠AMB=∠BCH，
又∵AD∥BC，
∴∠A=∠CBG，
∴△AMB∽△BCG，
∴$\frac{MQ}{CH}$=$\frac{AB}{BG}$，
∵AG=12，AB=5，
∴BG=12-5=7，
∴$\frac{MQ}{4}=\frac{5}{7}$，
∴MQ=$\frac{20}{7}$，
∵tan∠DAB=$\frac{4}{3}$=$\frac{MQ}{AQ}$，
∴AQ=3×$\frac{20}{7}$÷4=$\frac{15}{7}$，
由勾股定理得：AM=$\sqrt{A{Q}^{2}+M{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{15}{7}）^{2}+（\frac{20}{7}）^{2}}$=$\frac{25}{7}$．

點評 本題考查了四邊形綜合題．解題過程中，涉及到了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，旋轉的性質，解直角三角形以及勾股定理等知識點，解答該題的難點在于作出輔助線，構建相關的圖形的性質．