Question

8．山西綿山是中國歷史文化名山，因春秋時期晉國介子推攜母隱居于此被焚而著稱，如圖1，是綿山上介子推母子的塑像，某游客計劃測量這座塑像的高度，由于游客無法直接到達塑像底部，因此該游客計劃借助坡面高度來測量塑像的高度；如圖2，在塑像旁山坡坡腳A處測得塑像頭頂C的仰角為75°，當從A處沿坡面行走10米到達P處時，測得塑像頭頂C的仰角剛好為45°，已知山坡的坡度i=1：3，且O，A，B在同一直線上，求塑像的高度．（側傾器高度忽略不計，結果精確到0.1米，參考數據：cos75°≈0.3，tan75°≈3.7，$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{10}$≈3.2）

Answer 1

分析 過點P作PE⊥OB于點E，PF⊥OC于點F，設PE=x，則AE=3x，在Rt△AEP中根據勾股定理可得PE=$\sqrt{10}$，則AE=3$\sqrt{10}$，設CF=PF=m米，則OC=（m+$\sqrt{10}$）米、OA=（m-3$\sqrt{10}$）米，在Rt△AOC中，由tan75°=$\frac{OC}{OA}$求得m的值，繼而可得答案．

解答 解：過點P作PE⊥OB于點E，PF⊥OC于點F，

∵i=1：3，AP=10，
設PE=x，則AE=3x，
在Rt△AEP中，x²+（3x）²=10²，
解得：x=$\sqrt{10}$或x=-$\sqrt{10}$（舍），
∴PE=$\sqrt{10}$，則AE=3$\sqrt{10}$，
∵∠CPF=∠PCF=45°，
∴CF=PF，
設CF=PF=m米，則OC=（m+$\sqrt{10}$）米，OA=（m-3$\sqrt{10}$）米，
在Rt△AOC中，tan75°=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{m+\sqrt{10}}{m-3\sqrt{10}}$，即m+$\sqrt{10}$=tan75°•（m-3$\sqrt{10}$），
解得：m≈14.3，
∴OC=14.3+$\sqrt{10}$≈17.5米，
答：塑像的高度約為17.5米．

點評 此題綜合考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關鍵．