Question

3．二次函數y=-x²+mx+n的圖象經過點A（-1，4），B（1，0），y=-$\frac{1}{2}$x+b經過點B，且與二次函數y=-x²+mx+n交于點D．
（1）求二次函數的表達式；
（2）點N是二次函數圖象上一點（點N在BD上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交BD于點M，求MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法求得即可；
（2）根據待定系數法求得b，得到直線的解析式，設M（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），則N（m，-m²-2m+3），則MN=-m²-2m+3-（-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$）=-m²-$\frac{3}{2}$m+$\frac{5}{2}$=-（m+$\frac{3}{4}$）²+$\frac{49}{16}$，從而求得最大值．

解答 解：（1）∵二次函數y=-x²+mx+n的圖象經過點A（-1，4），B（1，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-m+n=4}\\{-1+m+n=0}\end{array}\right.$
解得m=-2，n=3
∴二次函數的表達式為y=-x²-2x+3；

（2）y=-$\frac{1}{2}$x+b經過點B，
∴-$\frac{1}{2}$×1+b=0，
∴解得b=$\frac{1}{2}$
∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$
設M（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），則N（m，-m²-2m+3），
∴MN=-m²-2m+3-（-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$）=-m²-$\frac{3}{2}$m+$\frac{5}{2}$=-（m+$\frac{3}{4}$）²+$\frac{49}{16}$，
∴MN的最大值為$\frac{49}{16}$．

點評 本題考查了待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，以及二次函數的最值，根據一次函數和二次函數表示出M、N的坐標是解題的關鍵．