Question

7．如圖1，A（a，0），B（0，b），滿足：a+b=$\sqrt{b-4}$+$\sqrt{4-b}$．

（1）求A、B的坐標．
（2）如圖1，點D是A點左側的x軸上一點，連接BD，以BD為直角邊作等腰直角△BDE．連接AB、BE、EA，EA交BD于點G：
①試判斷△ABE的形狀，并證明你的結論．
②如圖2，若EA平分∠BED，試求EG的長．

Answer 1

分析 （1）根據題意得出$\left\{\begin{array}{l}{b-4≥0}\\{4-b≥0}\end{array}\right.$，求出b=4．得出a+b=0．a=-4，即可得出A、B的坐標．
（2）①由AAS證明△EHD≌△DOB，得出DH=OB=OA=4，EH=OD．證出EH=AH．得出△EHA為等腰直角三角形．由等腰直角三角形的性質得出∠EAH=45°=∠BAO．得出∠EAB=90°即可．
②延長BA、ED相交于點H，由ASA證明△BEA≌△HEA，得出HA=BA=4$\sqrt{2}$．得出BH=2AB=8$\sqrt{2}$．證出∠DEG=∠DBH．由ASA證明△EDG≌△BDH，得出EG=BH=8$\sqrt{2}$即可．

解答 解：（1）∵根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{b-4≥0}\\{4-b≥0}\end{array}\right.$，
解得：b=4．
此時$\sqrt{b-4}$=$\sqrt{4-b}$=0，
∵a+b=$\sqrt{b-4}$+$\sqrt{4-b}$，
∴a+b=0．
∴a=-4，
∴A（-4，0）、B（0，4）．
（2）①△ABE是直角三角形；理由如下：
如圖1，過點E作EH⊥x軸于點H．則∠EDH+∠DEH=90°．
∵∠EDB=90°．
∴∠EDH+∠BDO=90°．
∴∠BDO=∠DEH．
在△EHD和△DOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEH=∠BDO}&{\;}\\{∠DHE=∠BOD=90°}&{\;}\\{DE=BD}&{\;}\end{array}\right.$
∴△EHD≌△DOB（AAS）．
∴DH=OB=OA=4，EH=OD．
而AH=DH+AD=OA+AD=OD．
∴EH=AH．
∴△EHA為等腰直角三角形．
∴∠EAH=45°=∠BAO．
∴∠EAB=90°．
∴△ABE為直角三角形．
②如圖2，延長BA、ED相交于點H．
∵EA平分∠BEH．
∴∠HEA=∠BEA．
由①得：∠EAB=90°=∠EAH．
在△BEA和△HEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠EAH}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\\{∠BEA=∠HEA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△HEA（ASA）．
∴HA=BA=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．∴BH=2AB=8$\sqrt{2}$．
∵∠EDG=90°=∠GAB．且∠EGD=∠BGA．
∴∠DEG=∠DBH．
在△EDG和△BDH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDG=∠BDH}&{\;}\\{DE=BD}&{\;}\\{∠DEG=∠DBH}&{\;}\end{array}\right.$
∴△EDG≌△BDH（ASA）．
∴EG=BH=8$\sqrt{2}$．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了坐標與圖形性質、二次根式的性質、等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握坐標與圖形性質和等腰直角三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．