Question

（本題10分）如圖甲，已知：在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m， CE⊥直線m，垂足分別為點D、E，設BD＝m，CE＝n．

（1）求DE的長（用含m，n的代數式表示）；

（2）如圖乙，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝（0º＜＜180º），設BD＝m，CE＝n．問DE的長如何表示？并請證明你的結論

 

Answer 1

（1）DE=；（2）DE=，證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）根據BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，

則AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE=；

（2）利用∠BDA=∠BAC=α，則∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，得出∠CAE=∠ABD，進而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．

試題解析：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA=900，

∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900，∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD，

又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD= BD+CE=；

（2）∵∠BDA =∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE=．

考點：全等三角形的判定與性質．