Question

（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，開口向下的拋物線經過點A，B，且其頂點P在⊙C上．

（1）求∠ACB的大小；

（2）寫出A，B兩點的坐標；

（3）試確定此拋物線的解析式；

（4）在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）120°；（2）A（，0），B（，0）；（3）；（4）D（0，2）．

【解析】

試題分析：（1）可通過構建直角三角形來求解．過C作CH⊥AB于H，在直角三角形ACH中，根據半徑及C點的坐標即可用三角形函數求出∠ACB的值．

（2）根據垂徑定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的長，再根據C點的坐標即可得出A、B兩點的坐標．

（3）根據拋物線和圓的對稱性，即可得出圓心C和P點必在拋物線的對稱軸上，因此可得出P點的坐標為（1，3）．然后可用頂點式二次函數通式來設拋物線的解析式．根據A或B的坐標即可確定拋物線的解析式．

（4）如果OP、CD互相平分，那么四邊形OCPD是平行四邊形．因此PC平行且相等于OD，那么D點在y軸上，且坐標為（0，2）．然后將D點坐標代入拋物線的解析式中即可判定出是否存在這樣的點．

試題解析：（1）作CH⊥x軸，H為垂足，

∵CH=1，半徑CB=2，∠BCH=60°，∴∠ACB=120°．

（2）∵CH=1，半徑CB=2，∴HB=，故A（，0），B（，0）．

（3）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標為（1，3）

設拋物線解析式，把點B（，0）代入上式，解得，∴；

（4）假設存在點D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形，∴PC∥OD且PC=OD．

∵PC∥y軸，∴點D在y軸上．

又∵PC=2，∴OD=2，即D（0，2）．

又D（0，2）滿足，∴點D在拋物線上，∴存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分．

考點：二次函數綜合題．