Question

7．已知a、b、c滿足a+b+c=0且abc＞0，其中x=$\frac{a}{|a|}$+$\frac{|b|}$+$\frac{c}{|c|}$，y=a（$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$），求代數式x²⁰¹⁴-xy+y³的值．

Answer 1

分析 根據已知條件判斷a、b、c的符號兩負一正，以及當a＞0時，$\frac{a}{|a|}$=1，當a＜0時，$\frac{a}{|a|}$=-1，可求x的值，將y的不等式變形為$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}$+$\frac{a+b}{c}$，由a+b+c=0，得b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，可求y的值，代入所求算式即可

解答 解：由a+b+c=0，且abc＞0，可知a、b、c三數中，兩負一正，
∵當a＞0時，$\frac{a}{|a|}$=1，當a＜0時，$\frac{a}{|a|}$=-1，
∴x=$\frac{a}{|a|}$+$\frac{|b|}$+$\frac{c}{|c|}$=-1，y=a（$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=$\frac{b+c}{a}$+$\frac{a+c}$+$\frac{a+b}{c}$=-3，
∴x²⁰¹⁴-xy+y³=（-1）²⁰¹⁴-（-1）×（-3）+（-3）³
=1-3-27=-29．

點評 本題考查了代數式的求值，運用了$\frac{a}{|a|}$=±1，同分母的運算，分類討論的方法．