Question

17．如圖，在平行四邊形ABCD中，CE是∠DCB的角平分線，且交AB于點E，DB與CE相交于點O，
（1）求證：△EBC是等腰三角形；
（2）已知：AB=7，BC=5，求$\frac{OB}{DB}$的值．

Answer 1

分析 （1）欲證明△EBC是等腰三角形，只需推知BC=BE即可，可以由∠2=∠3得到：BC=BE；
（2）通過相似三角形（△COD∽△EOB）的對應邊成比例得到$\frac{CD}{EB}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{7}{5}$，然后利用分式的性質(zhì)可以求得$\frac{OB}{DB}$=$\frac{5}{12}$．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴∠1=∠2．
∵CE平分∠BCD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BC=BE，
∴△EBC是等腰三角形；

解：（2）∵∠1=∠2，∠4=∠5，
∴△COD∽△EOB，
∴$\frac{CD}{EB}$=$\frac{OD}{OB}$．
∵平行四邊形ABCD，
∴CD=AB=7．
∵BE=BC=5，
∴$\frac{CD}{EB}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{7}{5}$，
∴$\frac{OB}{DB}$=$\frac{5}{12}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定．在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在運用三角形相似的性質(zhì)時主要利用相似比計算相應線段的長．