Question

8．如圖，等邊三角形ABC中，D為AC上一點，E為AB延長線上一點，DE⊥AC交BC于點F，且DF=EF．
（1）求證：CD=BE；
（2）若AB=12，試求BF的長．

Answer 1

分析 （1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM為等邊三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根據全等三角形的性質以及等邊三角形的性質，得出結論；
（2）根據CD⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=$\frac{1}{3}$BC，最后根據AB=12即可求得BF的長．

解答 解：（1）如圖，作DM∥AB，交CF于M，則∠DMF=∠E，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，
∴△CDM是等邊三角形，
∴CD=DM，
在△DMF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMF=∠E}\\{DF=EF}\\{∠DFM=∠EFB}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△EBF（ASA），
∴DM=BE，
∴CD=BE；

（2）∵CD⊥AC，∠A=60°=∠ABC，
∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，
∴BE=BF，DM=FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF=BF，
∴CM=MF=BF，
又∵AB=BC=12，
∴CM=MF=BF=4．

點評 本題主要考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作平行線，構造等邊三角形和全等三角形，根據全等三角形的性質以及等邊三角形的性質進行求解．