Question

20．如圖，AD是△ABC的中線，AE是△ABD的中線，BC=2AB，過點D作DF||AB交AE的延長線于點F．
（1）求證：△AEB≌△FED；
（2）求證：AC=AF．

Answer 1

分析 （1）由AE是△ABD的中線，得到BE=DE，根據平行線的性質得到∠BAE=∠F，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據全等三角形的性質得到AB=DF，∠B=∠BDF，由AD是△ABC的中線，BC=2AB，得到BD=CD=AB=DF，根據三角形的外角的性質得到∠ADF=∠ADC，根據全等三角形的性質即可得到結論．

解答 證明：（1）∵AE是△ABD的中線，
∴BE=DE，
∵DF||AB，
∴∠BAE=∠F，
在△AEB與△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠F}\\{∠AEB=∠DEF}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FDE；
（2）∵△ABE≌△FDE，
∴AB=DF，∠B=∠BDF，
∵AD是△ABC的中線，BC=2AB，
∴BD=CD=AB=DF，
∴∠ABD=∠BDA，
∵∠ADF=∠ADB+∠BDF，∠ADC=∠BAD+∠B，
∴∠ADF=∠ADC，
在△ADF與△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠ADF=∠ADC}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADC，
∴AC=AF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．