Question

20．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC相交于點D，且CD=2，BC=4，
（1）求⊙O的半徑；
（2）連接AD并延長，交BC于點E，取BE的中點F，連接DF，試判斷DF與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設⊙O的半徑為R，由切線的性質得出∠OBC=90°，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）連接BD，由等腰三角形的性質得出∠OBD=∠ODB，由圓周角定理得出∠ADB=90°，求出∠BDE=90°，由直角三角形的性質得出DF=$\frac{1}{2}$BE=BF，得出∠DBF=∠BDF，證出∠BDF+∠ODB=90°，即可得出結論．

解答 解：（1）設⊙O的半徑為R，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBC=90°，
∴OB²+BC²=OC²，
即R²+4²=（R+2）²，
解得：R=3，
即⊙O的半徑為3；
（2）DF與⊙O相切；理由如下：
如圖所示：連接BD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE=90°，
∵F是BE的中點，
∴DF=$\frac{1}{2}$BE=BF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DBF+∠OBD=90°，
∴∠BDF+∠ODB=90°，
∴DF⊥OD，
∴DF與⊙O相切．

點評 本題考查了切線的性質與判定、勾股定理、等腰三角形的性質、直角三角形的性質等知識；熟練掌握切線的判定與性質是解決問題的突破口．