Question

15．如圖，等邊△ABC中，AB=4，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)F在線段AD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在AC上，且AE=2，當(dāng)EF+CF取最小值時(shí)，∠ECF=30°．

Answer 1

分析 如圖，作點(diǎn)E關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接CE′交AD于F′．由EF+FC=FE′+FC，所以當(dāng)C、E′、F共線時(shí)，EF+CF最小，由△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=4，AE=AE′=2，推出AE′=E′B，∠ACB=60°，推出∠ACE′=∠BCE′=30°，即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接CE′交AD于F′．

∵EF+FC=FE′+FC，
∴當(dāng)C、E′、F共線時(shí)，EF+CF最小，
∵△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=4，AE=AE′=2，
∴AE′=E′B，∠ACB=60°
∴∠ACE′=∠BCE′=30°，
∴此時(shí)∠ECF=30°，
故答案為30．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱、等邊三角形的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最值問(wèn)題，屬于中考常考題型．