Question

10．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx²-2mx+m-2（m≠0）的頂點為A，與x軸交于B，C兩點（點B在點C左側），與y軸負半軸交于點D．
（1）求點A的坐標；
（2）連接AD并延長交x軸于E，若AD：DE=4：5，求拋物線的解析式和B，C兩點的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用配方法將一般式寫成頂點式，即可求出頂點A的坐標；
（2）由（1）得，對稱軸為直線x=1．設對稱軸與x軸交于H，作DF⊥AH，可得DF∥EH，可得△ADF∽△AEH，根據相似三角形的性質可得拋物線的解析式，進一步得到B，C兩點的坐標．

解答 解：（1）y=mx²-2mx+m-2=m（x²-2x+1）-2=m（x-1）²-2．
∴A點的坐標為（1，-2）．

（2）由（1）得，對稱軸為直線x=1．設對稱軸與x軸交于H，
作DF⊥AH，
∴DF∥EH，
∴△ADF∽△AEH，
∴AD：AE=AF：AH，
∵AD：DE=4：5，
∴AD：AE=AF：AH=4：9，
∵A（1，-2），D（0，m-2），
∴AF=m，
∴m：2=4：9，
∴$m=\frac{8}{9}$，
∴$y=\frac{8}{9}{x^2}-\frac{16}{9}x-\frac{10}{9}$，
B$（-\frac{1}{2}，0）$，C$（\frac{5}{2}，0）$．

點評 此題考查了拋物線與x軸的交點，待定系數法求二次函數解析式，平行線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，關鍵是運用方程思想得到關于m的方程，求出m的值．