Question

5．在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，將△ABC沿BC方向平移，得到△A'CC'，以C為位似中心，作△DEC與△ABC位似，位似比為1：2，若F為CC'的中點(diǎn)，連接DF，A'F，則$\frac{A'F}{DF}$的值為1或$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=BC=2x，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，根據(jù)平移的性質(zhì)及中點(diǎn)的定義得出CF=x，繼而可得A′F=$\sqrt{A′{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，由位似圖形的性質(zhì)可得DE=CE=x、EF=2x，繼而知DF=$\sqrt{D{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，即可得$\frac{A'F}{DF}$的值；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在AC延長線上時(shí)，由①知A′F=$\sqrt{A′{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，DF=DE=x，即可得$\frac{A'F}{DF}$的值．

解答 解：設(shè)AB=BC=2x，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，

∵△ABC≌△A′CC′，
∴A′C=CC′=2x，
∵F為CC'的中點(diǎn)，
∴CF=x，
則A′F=$\sqrt{A′{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
又∵△DEC∽△ABC，且$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CE}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=CE=x，
則EF=2x，
∴DF=$\sqrt{D{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴$\frac{A'F}{DF}$=$\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{5}x}$=1；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在AC延長線上時(shí)，

由①知A′F=$\sqrt{A′{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，DF=DE=x，
∴$\frac{A'F}{DF}$=$\frac{\sqrt{5}x}{x}$=$\sqrt{5}$，
故答案為：1或$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查平移的性質(zhì)及位似圖形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握平移的性質(zhì)及位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．