Question

20．如圖，AB為⊙O的切線，切點為B，連接AO，AO與⊙O交于點C，BD為⊙O的直徑，連接CD，若∠A=30°，⊙O的半徑為2，則圖中陰影部分的面積為$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$（結果保留π）

Answer 1

分析 由條件可求得∠COD的度數，過O作OE⊥CD于點E，則可求得OE的長和CD的長，再利用S_陰影=S_扇形COD-S_△COD可求得答案．

解答 解：
如圖，過O作OE⊥CD于點E，
∵AB為⊙O的切線，
∴∠DBA=90°，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠COD=120°，
∵OC=OD=2，
∴∠ODE=30°，
∴OE=1，CD=2DE=2$\sqrt{3}$
∴S_陰影=S_扇形COD-S_△COD=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{3}$=$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查切線的性質和扇形面積的計算，求得扇形COD和△COD的面積是解題的關鍵．