Question

1．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點E，下列結論：
①△ADE∽△ACD；
②當BD=6時，△ABD與△DCE全等；
③△DCE為直角三角形時，BD為8或$\frac{25}{2}$；
其中正確的結論是①②③．（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

分析 ①根據有兩組對應角相等的三角形相似即可證明；
②由BD=6，則DC=10，證得對應邊不相等，△ABD與△DCE不全等；
③由△DCE為直角三角形，可得有兩種可能：①∠CED=90°②∠EDC=90°，然后分別去分析，利用等腰三角形的性質與相似三角形的性質，求得答案．

解答 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD；
故①正確，
②∵BD=6，BC=16，
∴CD=10，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADB=180°-α-∠CDE，∠CED=180°-α-∠CDE，
∴∠ADB=∠DEC，
在△ABD與△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠ADB=∠DEC}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDE，
故②正確；
③△DCE為直角三角形，有以下兩種可能：①∠CED=90°②∠EDC=90°．
①當∠CED=90°時，即∠AED=90°，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴BD=8．             
②當∠EDC=90°時，
∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠EDC=90°，
如圖，過A作AF⊥BC于F，則BF=8，
∵∠B是公共角，∠AFB=∠BAD=90°，
∴△BFA∽△BAD，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BF}{AB}$，
∴BD=$\frac{25}{2}$．
綜上所述，△DCE為直角三角形時，BD=8或BD=$\frac{25}{2}$．
故③正確．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．