Question

5．已知第一個三角形的面積是1，它的三條中位線組成第1個三角形，第2個三角形的三條中位線又組成第3個三角形，以此類推…第2014個三角形的面積為（　　）

• A． $\frac{1}{{2}^{4022}}$
• B． $\frac{1}{{2}^{4024}}$
• C． $\frac{1}{{2}^{4026}}$
• D． $\frac{1}{{2}^{4028}}$

Answer 1

分析 由A₂，B₂，C₂分別是△A₁B₁C₁各邊的中點，根據三角形中位線的性質和有三組對應邊的比相等的兩個三角形相似得到△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，所以S_△A2B2C2：S_△A1B1C1=C₂B₂²：C₁B₁²=1：2²，得到即S_△A2B2C2=$\frac{1}{4}$，同理可得S_△A3B3C3=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=（$\frac{1}{4}$）²，以此類推即可得到第n個三角形的面積，據此進行計算即可．

解答 解：∵A₂，B₂，C₂分別是△A₁B₁C₁各邊的中點，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，
∴S_△A2B2C2：S_△A1B1C1=C₂B₂²：C₁B₁²=1：2²，
即S_△A2B2C2=$\frac{1}{4}$，
∴S_△A3B3C3=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=（$\frac{1}{4}$）²，
以此類推，第n個三角形的面積是（$\frac{1}{4}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）^2n-2，
∴第2014個三角形的面積為（$\frac{1}{2}$）^2×2014-2=$\frac{1}{{2}^{4026}}$．
故選：C．

點評 本題考查了三角形中位線定理以及三角形相似的性質的運用，解題的關鍵是找到問題的一般規律．