Question

20．如圖，拋物線y=x²-4x+3與x軸交于A，B兩點，且過點C（4，3），在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使∠PAC＞∠ACB，若存在，求出點P的橫坐標x_P的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 由于點P的位置不確定，可先討論∠PAC=∠ACB，然后確定點P的位置，進而求出點P的坐標即可求出x_p的范圍．

解答 解：過點C作CD⊥x軸于點D，
令y=0代入y=x²-4x+3，
∴x²-4x+3=0，
解得∴：x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∵C（4，3），
∴AD=3，CD=3，
對稱軸為x=2，
當點P在點C的上方時，
過點A作AP∥CB交拋物線于點P，
∴∠PAC=∠ACB，
設直線BC的解析式為：y=ax+b，
把B（3，0）和C（4，3）代入y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{0=3a+b}\\{3=4a+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-9}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=3x-9，
設直線AP的解析式為：y=3x+n，
把A（1，0）代入y=3x+n，
∴n=-3，
∴直線AP的解析式：y=3x-3，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-3}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=15}\end{array}\right.$，
∴P的坐標為（6，15），
∴∠PAC＞∠ACB時，x_p＞6，
當點P在點C下方時，
作∠PAC=∠ACB交拋物線于點P，且AP的延長線交CD于點E，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴∠EAD=∠BCD，
在△EAD與△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠BCD}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDB}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△BCD（ASA），
∴ED=BD=1，
∴E的坐標為（4，1），
設直線AE的解析式為：y=mx+c，
把A（1，0）和E（4，1）代入y=mx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{0=m+c}\\{1=4m+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{3}}\\{y=\frac{7}{9}}\end{array}\right.$，
∴點P（$\frac{10}{3}$，$\frac{7}{9}$），
∴∠PAC＞∠ACB時，2＜x_p＜$\frac{10}{3}$，
綜上所述，2＜x_p＜$\frac{10}{3}$或x_p＞6

點評 本題考查二次函數綜合問題，涉及全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，平行線的性質等知識，綜合程度較高．