Question

10．如圖，某海島上有一觀測點(diǎn)P，一天上午9：00觀測到一輪船在點(diǎn)M處，M在觀測點(diǎn)P南偏東60°方向上，漁船由東向西勻速航行跟蹤魚群，當(dāng)天上午9：30漁船行至點(diǎn)N處，N在觀測點(diǎn)P的東南方向上，已知該漁船的速度為每小時(shí)40海里．
（1）求該漁船從M到N的距離是多少海里；
（2）如果此漁船繼續(xù)沿原方向航行，求離觀測點(diǎn)P的最近距離是多少海里．（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間，即可求得該漁船從M到N的距離；
（2）延長MN與過點(diǎn)P的南北方向交于點(diǎn)D，則MN⊥PD于D，在Rt△PMD和Rt△PND中，根據(jù)三角函數(shù)定義MD，ND就可以PD表示出來，根據(jù)MN=20海里，就得到一個(gè)關(guān)于PD的方程，求得PD即可．

解答 解：（1）該漁船從M到N的距離為：40×$\frac{1}{2}$=20（海里）；

（2）如圖，延長MN與過點(diǎn)P的南北方向交于點(diǎn)D，則MN⊥PD于D．
設(shè)PD為x，
在Rt△PMD中，
∵∠PDM=90°，∠DPM=60°，∠M=90°-60°=30°，
∴MD=$\sqrt{3}$PD=$\sqrt{3}$x，
在Rt△PND中，
∵∠PDN=90°，∠DPN=45°，
∴DN=PD=x．
∵M(jìn)D-DN=MN，
∴$\sqrt{3}$x-x=20，
∴x=10（$\sqrt{3}$+1）≈27．
答：離觀測點(diǎn)P的最近距離約為27海里．

點(diǎn)評 本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，構(gòu)造直角三角形是解題的前提和關(guān)鍵．