Question

17．先閱讀，再解答：
由$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）=（\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}=1$可以看出，結果中不含有二次根式．若兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，則稱這兩個代數式互為有理化因式．
在進行二次根式計算時，利用有理化因式，有時可以化去分母中的根號．
例如：
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{（\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
上述過程，回答下列問題：
（1）$\sqrt{3}$的有理化因式是$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}+1$的有理化因式是$\sqrt{2}-1$
（2）化去下列式子分母中的根號：$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{3}{3+\sqrt{6}}$=3-$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 （1）根據有理化因式的定義，仿照閱讀中例子，得到$\sqrt{3}$、$\sqrt{2}$+1的有理化因式；
（2）利用分式的基本性質，分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根號．

解答 解：（1）因為$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3，所以$\sqrt{3}$的有理化因式是$\sqrt{3}$；
因為（$\sqrt{2}+1$）（$\sqrt{2}$-1）=3，所以$\sqrt{2}+1$的有理化因式是$\sqrt{2}$-1
故答案為：$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}-1$
（2）$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{3}{3+\sqrt{6}}=\frac{3（3-\sqrt{6}）}{（3+\sqrt{6}）（3-\sqrt{6}）}$
=3-$\sqrt{6}$
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，3-$\sqrt{6}$

點評 本題考查了分母有理化的定義以及如何利用有理化因式化去分母中的根號．一般來說，$\sqrt{a}$，b$\sqrt{a}$，（$\sqrt{a}$$+\sqrt{b}$）的有理化因式分別是$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$，（$\sqrt{a}$$-\sqrt{b}$）．