Question

2．如圖，點A、點E的坐標分別為 （0，3）與（1，2），以點A為頂點的拋物線記為C₁：y₁=-x²+n；以E為頂點的拋物線記為C₂：y₂=ax²+bx+c，且拋物線C₂與y軸交于點P（0，$\frac{5}{2}$）．
（1）分別求出拋物線C₁和C₂的解析式，并判斷拋物線C₁會經過點E嗎？
（2）若拋物線C₁和C₂中的y都隨x的增大而減小，請直接寫出此時x的取值范圍；
（3）在（2）的x的取值范圍內，設新的函數y₃=y₁-y₂，求出函數y₃與x的函數關系式；問當x為何值時，函數y₃有最大值，求出這個最大值．

Answer 1

分析 （1）待定系數法分別求解可得，再求出x=1時，y₁的值即可判斷拋物線C₁是否經過點E；
（2）分別求出兩函數y隨x的增大而減小時x的范圍可得答案；
（3）將y₁、y₂代入y₃=y₁-y₂整理成一般式，再配方成頂點式可得答案．

解答 解：（1）根據題意將點A（0，3）代入y₁=-x²+n，得：n=3，
∴y₁=-x²+3；
∵拋物線C₂的頂點坐標為（1，2），
∴設拋物線C₂的解析式為y=a（x-1）²+2，
將點P（0，$\frac{5}{2}$）代入，得：a+2=$\frac{5}{2}$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線C₂的解析式為y₂=$\frac{1}{2}$（x-1）²+2=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{5}{2}$，
當x=1時，y₁=-1²+3=2，
∴拋物線C₁經過點E；

（2）在y₁=-x²+3，當x＞0時，y隨x的增大而減小，
在y₂=$\frac{1}{2}$（x-1）²+2中，當x＜1時，y隨x的增大而減小，
∴當0＜x＜1時，拋物線C₁和C₂中的y都隨x的增大而減��；

（3）y₃=y₁-y₂=-x²+3-（$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{5}{2}$）=-$\frac{3}{2}$x²+x+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，
∵0＜x＜1，
∴當x=$\frac{1}{3}$時，函數y₃有最大值，最大值為$\frac{2}{3}$．

點評 此題考查了待定系數法求二次函數解析式及二次函數的性質，熟練掌握待定系數法和二次函數的增減性是解本題的關鍵．