Question

6．閱讀下列材料：
已知$1+2+3=\frac{{3（{1+3}）}}{2}$，$1+2+3+4=\frac{{4（{1+4}）}}{2}$，$1+2+3+4+5=\frac{{5（{1+5}）}}{2}$，…，
（1）推測1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$；2+4+6+…+2n=n（n+1）
（2）計算1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）
（3）請用上述公式計算：101+103+105+…+999．

Answer 1

分析 （1）根據題意知連續整數的和等于序數的一半與首尾兩數和的乘積，據此可得；
（2）利用（1）中的計算方法可得：連續奇數的和等于序數的平方；
（3）將原式變形為1+3+5+…+99+101+103+…+999-（1+3+5+…+99），再利用以上規律可得．

解答 解：（1）根據題意得1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
故答案為：$\frac{n（n+1）}{2}$，n（n+1）；

（2）根據（1）知，1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）=$\frac{（n+1）（1+2n+1）}{2}$=（n+1）²；

（3）101+103+105+…+999=1+3+5+…+99+101+103+…+999-（1+3+5+…+99）
=500²-50²
=247500．

點評 本題主要考查數字的變化規律，根據題意得出等差數列的計算公式是解題的關鍵．