Question

20．將三角尺的直角頂點P放在矩形ABCD的對角線BD上，使其一條直角邊經過點A，另一條直角邊和CD交于點E．
（1）如圖①，分別過點P作PM⊥AD、PN⊥CD，垂足分別為點M、N．
 ①求證△PMA∽△PNE；         ②求證：tan∠ADB=$\frac{PA}{PE}$．
（2）如圖②，若AB=4，BC=3，過點E作EF⊥BD于點F，連接AF，則隨著點P取不同的位置，△PAF的面積是否發生變化？若不變，求出其面積；若改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①根據兩角相等證明相似；②根據上問的三角形相似得：$\frac{PM}{PN}=\frac{PA}{PE}$，根據根據矩形DMPN得：DM=PN，由直角△DMP的銳角正切可得結論；
（2）作輔助線，構建相似三角形，根據（1）中的結論得：tan∠ADB=$\frac{AP}{PE}=\frac{AB}{AD}$=$\frac{4}{3}$，證明△GAP∽△FPE，
則$\frac{AP}{PE}=\frac{AG}{PF}$，可求得PF的長，利用面積法求出AG的長，代入面積公式可得結論．

解答 證明：（1）如圖①，
①∵∠EPA=90°，
∴∠APM+∠MPE=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵PM⊥AD，PN⊥DC，
∴∠DMP=∠PND=90°，
∴四邊形DMPN為矩形，
∴∠MPN=90°，
∴∠EPN+∠MPE=90°，
∴∠APM=∠EPN，
∵∠AMP=∠PNE=90°，
∴△PMA∽△PNE；
②∵△PMA∽△PNE，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{PA}{PE}$，
∵四邊形DMPN為矩形，
∴DM=PN，
在Rt△DPM中，tan∠ADB=$\frac{PM}{DM}$，
∴tan∠ADB=$\frac{PM}{PN}=\frac{PA}{PE}$；
（2）△PAF的面積不發生變化，理由是：
如圖②，過A作AG⊥BD于G，
∵AD=BC=3，AB=4，∠DAB=90°，
∴BD=5，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AG=$\frac{1}{2}$AD•AB，
∴BD•AG=AD•AB，
∴AG=$\frac{3×5}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∵∠APE=90°，
∴∠APG+∠GPE=90°，
∵∠AGP=90°，
∴∠APG+∠GAP=90°，
∴∠GPE=∠GAP，
∵∠AGP=∠EFP=90°，
∴△GAP∽△FPE，
∴$\frac{AP}{PE}=\frac{AG}{PF}$，
由（1）得：tan∠ADB=$\frac{AP}{PE}=\frac{AB}{AD}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AG}{PF}$=$\frac{4}{3}$，
∴3AG=4PF，
∴PF=3×$\frac{12}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{9}{5}$，
∴S_△APF=$\frac{1}{2}$PF•AG=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{5}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{54}{25}$．
答：△PAF的面積是$\frac{54}{25}$．

點評 本題是相似三角形的綜合題，難度適中，考查了相似三角形的性質和判定、矩形的性質及三角函數的定義，在證明兩三角形相似時常利用兩角對應相等證明相似，本題也是如此；在利用比例式求線段的長時，可以利用相似列比例式，也可以利用同角的三角函數列比例式．