Question

3．如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點Q沿CA向終點A運動，速度為2cm/s，當一個到達終點時，另一個也停止運動．設它們運動的時間為x（s）．
（1）求x為何值時，PQ⊥AC；
（2）用關于x的代數式表示△PQD的面積y；
（3）求出當△PQD的面積是$\frac{3\sqrt{3}}{8}$時x的值
（4）探索以PQ為直徑的圓與AC何時相切、相交，請寫出相應位置關系的x的取值范圍（不要求寫出過程）．

Answer 1

分析 （1）若使PQ⊥AC，則根據路程=速度×時間表示出CP和CQ的長，再根據30度的直角三角形的性質列方程求解；
（2）首先畫出符合題意的圖形，再根據路程=速度×時間表示出BP，CQ的長，根據等邊三角形的三線合一求得PD的長，根據30度的直角三角形的性質求得PD邊上的高，再根據面積公式進行求解；
（3）根據（2）中得出的函數關系式代入即可得出；
（4）利用直線和圓相切是直線和圓的位置關系的特殊性，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-x=2×2x，
∴x=$\frac{4}{5}$；
（2）如圖，P在BD上，Q在AC上，過點Q作QN⊥BC于N；
∵∠C=60°，QC=2x，
∴QN=QC×sin60°=$\sqrt{3}$x；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴DP=2-x，
∴y=$\frac{1}{2}$PD•QN=$\frac{1}{2}$（2-x）•$\sqrt{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\sqrt{3}$x；
（3）由（2）知，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\sqrt{3}$x；
∵△PQD的面積是$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\sqrt{3}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{3}{2}$

（4）由（1）可知，當x=$\frac{4}{5}$時，以PQ為直徑的圓與AC相切；
當0≤x＜$\frac{4}{5}$或$\frac{4}{5}$＜x≤2時，以PQ為直徑的圓與AC相交．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了等邊三角形的性質、直角三角形的性質以及直線和圓的位置關系求解．解題的關鍵是用動點的時間x和速度表示線段的長度，本題有一定的綜合性，難度中等．