Question

13．如圖，點P是菱形ABCD的對角線DB延長線上一點，連接PC并延長，交AD延長線于點E，AB延長線于點F．
（1）求證△PAB≌△PCB；
（2）求證△PAF∽△PEA；
（3）若AP=6，FP=2，求EF．

Answer 1

分析 （1）先由菱形的性質得出BC=BA，∠CBD=∠ABD，進而判斷出△PAB≌△PCB；
（2）借助（1）的結論得出∠PAB=∠PCB，再用菱形的性質得出∠PAB=∠E，進而判斷出結論；
（3）借助（2）的相似得出比例式求出PE，即可求出EF．

解答 解（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=BA，∠CBD=∠ABD，
∴∠CBP=∠ABP，
在△PAB和△PCB中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠CBP=∠ABP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△PCB，
（2）由（1）知，△PAB≌△PCB，
∴∠PAB=∠PCB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AE，
∴∠PCB=∠E，
∴∠PAB=∠E，
∵∠APF=∠EPA，
∴△PAF∽△PEA，
（3）由（2）知，△PAF∽△PEA，
∴$\frac{PA}{PE}=\frac{PF}{PA}$，
∴$\frac{6}{PE}=\frac{2}{6}$，
∴PE=18，
∴EF=PE-FP=16．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，判斷出△PAB≌△PCB是解本題的關鍵，是一道中等難度的中考常考題．