Question

18．數學活動-旋轉變換
（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC=130°，將△ABC繞點C逆時針旋轉50°得到△A′B′C，連接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，將△ABC繞點C逆時針旋轉60°得到△A′B′C，連接BB′，以A′為圓心、A′B′長為半徑作圓．
（Ⅰ）猜想：直線BB′與⊙A′的位置關系，并證明你的結論；
（Ⅱ）連接A′B，求線段A′B的長度；
（3）如圖③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），將△ABC繞點C逆時針旋轉2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，連接A′B和BB′，以A′為圓心、A′B′長為半徑作圓，問：α與β滿足什么條件時，直線BB′與⊙A′相切，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據∠A′B′B=∠A′B′C-∠BB′C，只要求出∠A′B′B即可．
（2）（Ⅰ）結論：直線BB′與⊙A′相切．只要證明∠A′B′B=90°即可．
（Ⅱ）在Rt△ABB′中，利用勾股定理計算即可．
（3）如圖③中，當α+β=180°時，直線BB′與⊙A′相切．只要證明∠A′B′B=90°即可解決問題．

解答 解；（1）如圖①中，∵△A′B′C是由△ABC旋轉得到，
∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，
∵∠BCB′=50°，
∴∠CBB′=∠CB′B=65°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C-∠BB′C=65°．
（2）（Ⅰ）結論：直線BB′與⊙A′相切．
理由：如圖②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，
∵∠BCB′=60°，
∴∠CBB′=∠CB′B=60°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C-∠BB′C=90°．
∴AB′⊥BB′，
∴直線BB′與⊙A′相切．
（Ⅱ）∵在Rt△ABB′中，
∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，
∴A′B=$\sqrt{AB{'}^{2}+B'{B}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
（3）如圖③中，當α+β=180°時，直線BB′與⊙A′相切．
理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，
∵∠BCB′=2β，
∴∠CBB′=∠CB′B=$\frac{180°-2β}{2}$=90°-β，
∴∠A′B′B=∠A′B′C-∠BB′C=α-90°+β=180°-90°=90°．
∴AB′⊥BB′，
∴直線BB′與⊙A′相切．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了旋轉不變性、勾股定理、切線的判定、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練運用這些知識解決問題，充分利用旋轉不變性，屬于中考壓軸題．