Question

1．閱讀發現：如圖①，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠ACB=90°，AD為∠BAC的平分線，且交BC于D，我們發現在AB上截取AE=AC，連結DE，可得AB=AC+CD（不需證明）．
探究：如圖②，當∠ACB≠90°時，其他條件不變，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系，寫出結果，并證明；
拓展：如圖③，當∠ACB=2∠B，∠ACB≠90°時，AD為△ABC的外角∠CAF的平分線，且交BC的延長線于點D，則線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析 （1）探究：在AB上截取AE=AC，連接ED，由AD為∠BAC的角平分線時，得到∠BAD=∠CAD，通過△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根據等腰三角形的性質得到EB=ED，即可得解；
（2）拓展：在BA的延長線上截取AE=AC，連接ED，由AD為∠BAC的角平分線時，得到∠BAD=∠CAD，通過△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根據等腰三角形的性質得到EB=ED，即可得解．

解答 解：（1）探究：AB=AC+CD．
證明：如圖2，在AB上截取AE=AC，連接ED，
∵AD為∠BAC的角平分線時，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AED與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED=∠C，ED=CD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CD，
∴AB=AE+EB=AC+CD；

（2）拓展：AB+AC=CD．
理由：如圖3，在BA的延長線上截取AE=AC，連接ED．
∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠AED=∠ACD，
∴∠FED=∠ACB，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴EB=ED，
∴EA+AB=EB=ED=CD，
∴AC+AB=CD．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，等腰直角三角形的判定和性質的綜合應用，正確作出輔助線構造全等三角形并運用全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵．