Question

16．半徑為1的圓的外切直角三角形的面積的最小值為（　�。�

• A． 3-$2\sqrt{2}$
• B． 3+$2\sqrt{2}$
• C． 6-4$\sqrt{2}$
• D． 6+4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如圖⊙O是Rt△ABC的內切圓，E、F、G是切點，連接OE、OF、OG，則四邊形BEOF是正方形，邊長為1，設AB=m，BC=n．△ABC的面積為S．易知AC=（m-1）+（n-1）=m+n-2，S=$\frac{1}{2}$（m+n+m+n-2）=m+n-1，因為（$\sqrt{m}$-$\sqrt{n}$）²≥0，所以m+n≥2$\sqrt{mn}$，由S=$\frac{1}{2}$mn，推出S+1≥2$\sqrt{2S}$，因為S+1＞0，所以（S+1）²≥8S，所以S²-6S+1≥0，解得S≥3+2$\sqrt{2}$或S≤3-2$\sqrt{2}$，由此即可解決問題．

解答 解：如圖⊙O是Rt△ABC的內切圓，E、F、G是切點，連接OE、OF、OG，
則四邊形BEOF是正方形，邊長為1，
設AB=m，BC=n．△ABC的面積為S．

則易知AC=（m-1）+（n-1）=m+n-2，S=$\frac{1}{2}$（m+n+m+n-2）=m+n-1，
∵（$\sqrt{m}$-$\sqrt{n}$）²≥0，
∴m+n≥2$\sqrt{mn}$，∵S=$\frac{1}{2}$mn，
∴S+1≥2$\sqrt{2S}$，
∵S+1＞0，
∴（S+1）²≥8S，
∴S²-6S+1≥0，
∴S≥3+2$\sqrt{2}$或S≤3-2$\sqrt{2}$，
∵S＞0，
∴S≥3+2$\sqrt{2}$，
∴S的最小值為3+2$\sqrt{2}$．
故選B．

點評 本題考查三角形的內心、完全平方公式、三角形的面積公式、一元二次不等式等知識，解題的關鍵是學會利用基本不等式解決最值問題，屬于競賽類題目．