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11.如圖,在正方形ABCD中,F是對角線AC上任一點,BF⊥EF,AD=1.
(1)求證:BF=EF;
(2)過點E作EG⊥AC,垂足為G,請問GF的長度是一個定值嗎?如果是請求出這個長度的值,若不是請說明理由.

分析 (1)如圖1中,作FM⊥AD于M,FN⊥AB于N.只要證明△FME≌△FNB即可.
(2)如圖2中,GF的長度是一個定值.連接BD交AC于O.首先求出OB的長,再證明△EGF≌△FOB,即可推出FG=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

解答 (1)證明:如圖1中,作FM⊥AD于M,FN⊥AB于N.

∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠CAD=∠CAB=45°,
∴FN=FM,
∵∠FMA=∠MAN=∠FNA=90°,
∴∠MFN=∠EFB=90°,
∴∠MFE=∠NFB,
在△FME和△FNB中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠FME=∠FNB}\\{FM=FN}\\{∠MEE=∠NFB}\end{array}\right.$,
∴△FME≌△FNB,
∴EF=FB.

(2)如圖2中,GF的長度是一個定值.

理由:連接BD交AC于O.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=AB=BC=CD=1,BD=$\sqrt{2}$,OB=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,AC⊥BD,
∴∠EFB=∠BOF=∠EGF=90°,
∵∠EFG+∠FEG=90°,∠EFG+∠BFO=90°,
∴∠FEO=∠BFO,
在△EGF和△FOB中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGF=∠FOB}\\{∠FEG=∠BFO}\\{EF=FB}\end{array}\right.$,
∴△EGF≌△FOB,
∴FG=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴FG的長度是定值.

點評 本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造全等三角形解決問題,屬于中考常考題型.

練習冊系列答案
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