Question

1．如圖，△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=4+4$\sqrt{3}$，M是邊BC上一動點，P、Q分別是△ABM、△ACM外接圓的圓心，則S_△PMQ的最小值為6$\sqrt{3}$+12．

Answer 1

分析 根據三角形的外心的概念確定PQ是線段AM的垂直平分線，根據題意得到當AM⊥BC時，S_△PMQ最小，計算即可．

解答 解：∵P、Q分別是△ABM、△ACM外接圓的圓心，
∴PQ是線段AM的垂直平分線，
∴S_△PMQ=$\frac{1}{2}$×PQ×MH，
∴當AM⊥BC時，S_△PMQ最小，
∵∠B=60°，∠C=45°，
∴AM=$\sqrt{3}$BM，AM=MC，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$AM+AM=4+4$\sqrt{3}$，
解得，AM=4$\sqrt{3}$，
∵P、Q分別是△ABM、△ACM外接圓的圓心，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BC=2+2$\sqrt{3}$，
∴S_△PMQ=$\frac{1}{2}$×PQ×MH=6$\sqrt{3}$+12，
故答案為：6$\sqrt{3}$+12．

點評 本題考查的是三角形的外接圓和外心的概念和性質，掌握線段垂直平分線的判定定理、三角形中位線的性質是解題的關鍵．