Question

19．如圖，已知矩形ABCD中，F(xiàn)A、HB、FD、HC分別平分∠BAD、∠ABC、∠ADC、∠BCD．求證：四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 直接利用矩形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=45°，進而得出四邊形EFGH是矩形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案．

解答 證明：∵矩形ABCD中，F(xiàn)A、HB、FD、HC分別平分∠BAD、∠ABC、∠ADC、∠BCD，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=45°，
∴∠F=∠FEH=∠FGH=90°，AF=FD，
∴四邊形EFGH是矩形，
∵在△ABE和△CDG中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠4}\\{AB=DC}\\{∠3=∠5}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDG（ASA），
∴AE=BE=DG=GC，
∴AF-AE=DF-DG，即EF=FG，
∴矩形EFGH是正方形．

點評 此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及正方形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出EF=FG是解題關(guān)鍵．