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19.如圖,已知矩形ABCD中,F(xiàn)A、HB、FD、HC分別平分∠BAD、∠ABC、∠ADC、∠BCD.求證:四邊形EFGH是正方形.

分析 直接利用矩形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=45°,進而得出四邊形EFGH是矩形,再利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案.

解答 證明:∵矩形ABCD中,F(xiàn)A、HB、FD、HC分別平分∠BAD、∠ABC、∠ADC、∠BCD,
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=45°,
∴∠F=∠FEH=∠FGH=90°,AF=FD,
∴四邊形EFGH是矩形,
∵在△ABE和△CDG中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠4}\\{AB=DC}\\{∠3=∠5}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△CDG(ASA),
∴AE=BE=DG=GC,
∴AF-AE=DF-DG,即EF=FG,
∴矩形EFGH是正方形.

點評 此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及正方形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識,得出EF=FG是解題關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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