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3.如圖①,點A(0,a),B(b,0)分別為y軸正半軸,x軸正半軸上兩點,點C為線段AB的中點,且a,b滿足等式b=$\sqrt{a-\sqrt{5}}$+$\sqrt{\sqrt{5}-a}$+$\sqrt{5}$.
(1)求出A,B點的坐標并說明△AOB的形狀;
(2)若∠ECF=90°且與y軸負半軸,x軸正半軸分別交于E,F兩點,求OF-OE的值;
(3)如圖②,若∠FCE=45°,交y軸正半軸于E點,交x軸負半軸于F點,若OF+EF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$,求F點的坐標.

分析 (1)根據二次根式的非負性得:a=$\sqrt{5}$,b=$\sqrt{5}$,表示出點A、B的坐標,并知道△AOB是等腰直角三角形;
(2)連接OC,如圖1,證明△CBF≌△COE,得OE=BF,根據線段的差可得結論;
(3)作輔助線,構建三角形全等,分別證明△COF≌△CAG和△CEF≌△CEG,設EF=x,構建勾股定理列方程可得結論.

解答 解:(1)由題意得:a-$\sqrt{5}$=0,
a=$\sqrt{5}$,
∴b=$\sqrt{5}$,
∴A(0,$\sqrt{5}$),B($\sqrt{5}$,0),
∴OA=OB=$\sqrt{5}$,
∵∠AOB=90°,
∴△AOB是等腰直角三角形;

(2)連接OC,如圖1,
∵C是AB的中點,△AOB是等腰直角三角形,
∴OC=BC,OC⊥AB,∠COB=∠CBO=45°,
∴∠OCE+∠ECB=90°,
∵∠ECF=90°,
∴∠ECB+∠BCF=90°,
∴∠OCE=∠BCF,
∵∠EOC=90°+45°=135°,
∠CBF=180°-45°=135°,
∴∠EOC=∠CBF,
∴△CBF≌△COE,
∴OE=BF,
∴OF-OE=OF-BF=OB=$\sqrt{5}$;

(3)如圖3,連接OC,過C作CG⊥CF,交y軸于G,
同理得:OC=AC,∠COF=∠CAG=135°,
∵∠ECF=45°,
∴∠ECG=∠ACE+∠FCO=45°,
即∠ACE+∠ACG=∠ACE+∠FCO,
∴∠ACG=∠FCO,
∴△COF≌△CAG,
∴OF=AG,CF=CG,
∵CE=CE,
∴△CEF≌△CEG,
∴EF=EG,
設EF=x,則EF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-x,OE=x+$\sqrt{5}$-($\frac{3\sqrt{5}}{2}$-x)=2x-$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
由勾股定理得:($\frac{3\sqrt{5}}{2}$-x)2=x2+(2x-$\frac{\sqrt{5}}{2}$)2
解得:x=$\frac{-\sqrt{5}±\sqrt{210}}{8}$,
∴OF=$\frac{-\sqrt{5}+\sqrt{210}}{8}$,
∴F($\frac{\sqrt{5}-\sqrt{210}}{8}$,0).

點評 本題是三角形的綜合題,考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的性質和判定、勾股定理,本題第三問較難,恰當地作出輔助線構建全等三角形的關鍵.

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