Question

15．如圖①，C為線段BD上一動點，分別過點B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC，EC．已知AB=5，DE=1，BD=8．

（1）如圖①，問點A，C，E滿足什么條件時，AC+CE的值最小？求出AC+CE的最小值．
（2）如圖②，在平面直角坐標系中，已知點M（0，4），N（3，2），請根據（1）中的規律和結論構圖在x軸上找一點P，使PM+PN最小，求出點P坐標和PM+PN的最小值．

Answer 1

分析 （1）當點C到A、E兩點的距離相等即AC=EC，由勾股定理建立方程，解方程即可；
（2）根據在直線OX上的同側有兩個點M、N，在直線OX上有到M、M的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線OX的對稱點，對稱點與另一點的連線與OX的交點就是所要找的P．再利用勾股定理計算即可．

解答 解：（1）∵BC=x，BD=8，
∴CD=8-x，
∵AC=EC，
∴x²+5²=（8-x）²+1²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴當BC=$\frac{5}{2}$時，點C到A、E兩點的距離相等；
（2）如圖所示：P（2，0），
∵PM=$\sqrt{O{P}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
PN=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴PM+PN最小值為 3$\sqrt{5}$．

點評 本題利用了數形結合的思想，可通過構造直角三角形，利用勾股定理求解和利用軸對稱求最短路線問題．