Question

20．連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線，如圖（1），AC、AD是五邊形ABCDE的對(duì)角線．思考下列問題：
（1）如圖（2），n邊形A₁A₂A₃A₄…A_n中，過頂點(diǎn)A ₁可以畫（n-3）條對(duì)角線，它們分別是A₁A_n-1（n＞3）；
過頂點(diǎn)A₂可以畫（n-3）條對(duì)角線，過頂點(diǎn)A ₃可以畫（n-3）條對(duì)角線．
（2）過頂點(diǎn)A₁的對(duì)角線與過頂點(diǎn)A₂的對(duì)角線有相同的嗎？過頂點(diǎn)A₁的對(duì)角線與過頂點(diǎn)A₃的對(duì)角線有相同的嗎？
（3）在此基礎(chǔ)上，你能發(fā)現(xiàn)n邊形的對(duì)角線條數(shù)的規(guī)律嗎？

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A₁和任意不相鄰的兩點(diǎn)連接可得出到一條對(duì)角線；同理可得過點(diǎn)A₂、A₃的情況．
（2）過點(diǎn)A₁的和過點(diǎn)A₂的沒有重復(fù)的，但和過點(diǎn)A₃的有重復(fù)的（A₁A₃和A₃A₁重復(fù)）；
（3）過每一點(diǎn)有（n-3）條對(duì)角線，除去重復(fù)的即可得出總對(duì)角線的條數(shù)．

解答 解：（1）過頂點(diǎn)A₁可以畫（n-3）條對(duì)角線，它們分別是A₁A_n-1（n＞3）；過頂點(diǎn)A₂可以畫（n-3）條對(duì)角線，過頂點(diǎn)A₃可以畫（n-3）條對(duì)角線；
（2）過點(diǎn)A₁的和過點(diǎn)A₂的沒有重復(fù)的，但和過點(diǎn)A₃的有重復(fù)的（A₁A₃和A₃A₁重復(fù)）；
（3）n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)不能與它本身及左右兩個(gè)鄰點(diǎn)相連成對(duì)角線，故可連出（n-3）條，
共有n個(gè)頂點(diǎn)，應(yīng)為n（n-3）條，這樣算出的數(shù)，正好多出了一倍，所以再除以2．
即n邊形的對(duì)角線條數(shù)的為$\frac{n（n-3）}{2}$．
故答案為：（n-3），A₁A_n-1（n＞3），（n-3），（n-3）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了多邊形的對(duì)角線的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是熟練掌握一些基本知識(shí)．