Question

20．如圖，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC邊上一點（不與B、C重合），過點E作EF⊥AE交AC、CD于點M、F，過點B作BG⊥AC，垂足為G，BG交AE于點H；
（1）求證：△ABH∽△ECM；
（2）設BE=x，$\frac{EH}{EM}=y$，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（3）當△BHE為等腰三角形時，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的四個角為直角，得到∠ABC為直角，再由BG垂直于AC，AE垂直于EF，得到一對直角相等，利用同角的余角相等得到一對角相等，再利用外角性質得到另一對角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；
（2）延長BG，交AD于點K，利用兩角相等的三角形相似得到三角形ABK與三角形ABC相似，由相似得比例求出AK的長，由AK與BE平行，得到三角形AHK與三角形BHE相似，表示出EH，由第一問的結論，利用相似三角形對應邊成比例表示出$\frac{AH}{EM}$，即可確定出y與x的函數解析式，并求出定義域即可；
（3）當△BHE為等腰三角形時，分三種情況考慮：①當BH=BE時，利用等腰三角形的性質，角平分線定義及銳角三角函數定義求出BE的長；②當HB=HE時，利用等腰三角形的性質及銳角三角函數定義求出BE的長；③當EB=EH時，利用等腰三角形的性質及勾股定理求出BE的長即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即∠ABG+∠CBG=90°，
∵EF⊥AE，BG⊥AC，
∴∠AEF=∠BGA=90°，
∴∠AEF=∠ABC，∠ACB+∠CBG=90°，
∴∠ABG=∠ACB，
∵∠AEC=∠ABC+∠BAE，即∠AEF+∠CEF=∠ABC+∠BAE，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠ABG=∠ACB，
∴△ABH∽△ECM；
（2）解：延長BG交AD于點K，

∵∠ABG=∠ACB，
又∵在矩形ABCD中，∠BAK=∠ABC=90°，
∴△ABK∽△BCA，
∴$\frac{AK}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AK}{6}$=$\frac{6}{8}$，
∴AK=$\frac{9}{2}$，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，且BE=x，
∴$\frac{BE}{AK}$=$\frac{EH}{AH}$=$\frac{2x}{9}$，
∴EH=$\frac{2x}{9}$•AH，
∵△ABH∽△ECM，
∴$\frac{AH}{EM}$=$\frac{AB}{EC}$=$\frac{6}{8-x}$，
∵$\frac{EH}{EM}$=y，
∴y=$\frac{\frac{2x}{9}•AH}{EM}$=$\frac{2x}{9}$•$\frac{AH}{EM}$=$\frac{2x}{9}$•$\frac{6}{8-x}$=$\frac{4x}{24-3x}$（0＜x＜8）；
（3）解：當△BHE為等腰三角形時，存在以下三種情況：
①當BH=BE時，則有∠BHE=∠BEH，
∵∠BHE=∠AHG，
∴∠BEH=∠AHG，
∵∠ABC=∠BGA=90°，
∴∠BEH+∠BAE=∠AHG+∠EAM=90°，
∴∠BAE=∠EAM，即AE為∠BAC的平分線，
過點E作EQ⊥AC，垂足為Q，如圖2所示，

則EQ=EB=x，CE=8-x，
∵sin∠ACB=$\frac{EQ}{EC}$=$\frac{x}{8-x}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=3，即BE=3；   
②當HB=HE時，則有∠HBE=∠HEB，
∵∠ABC=∠BGC=90°，
∴∠BAE+∠HEB=∠BCG+∠HBE=90°，
∴∠BAE=∠BCG，
∴tan∠BAE=tan∠BCA=$\frac{x}{6}$=$\frac{3}{4}$，
∴x=$\frac{9}{2}$，即BE=$\frac{9}{2}$；
③當EB=EH時，則有∠EHB=∠EBH，
又∵∠EHB=∠AHG，
∴∠AHG=∠EBH，
∵∠BGA=∠BGC=90°，
∴∠CAE+∠AHG=∠BCG+∠EBH=90°，
∴∠CAE=∠BCG，
∴EA=EC=8-x，
∵在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，即6²+x²=（8-x）²，
解得：x=$\frac{7}{4}$，即BE=$\frac{7}{4}$，
綜上所述，當△BHE是等腰三角形時，BE的長為3或$\frac{9}{2}$或$\frac{7}{4}$．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：矩形的性質，相似三角形的判定與性質，平行線等分線段定理，勾股定理，銳角三角函數定義，以及等腰三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．