Question

（本題14分）如圖，拋物線與軸相交于、兩點（點在點的左側），與軸交于點，頂點為.

（1）求出、兩點的坐標和拋物線的對稱軸；

（2）連接，與拋物線的對稱軸交于點，點為線段上的一個動點，過點作交拋物線于點，設點的橫坐標為；

①用含的代數式表示線段的長，并求出當為何值時，四邊形為平行四邊形？

②設的面積為，求與的函數關系式.

（3）若點G為拋物線上的一個動點，在x軸上是否存在這樣的點H，使以B、C、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出滿足條件的H點的坐標；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）B（3，0），C（0，3），拋物線的對稱軸是x=1；

（2）①當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形；②S=（0≤m≤3）．

（3）H坐標為H1(1,0)或H2(5,0)或H3（，0）m的變化范圍是0≤m≤3

【解析】

試題分析：（1）令y=0，則﹣x2+2x+3=﹣（x+1）（x﹣3）=0，

解得，x=﹣1或x=3，則A（﹣1，0），B（3，0）．

所以，對稱軸是x==1．

令x=0，則y=0，則C（0，3）．

綜上所述， B（3，0），C（0，3），拋物線的對稱軸是x=1；

（2）①設直線BC的函數關系式為：y=kx+b（k≠0）．

把B（3，0），C（0，3）分別代入得：，

解得：k=﹣1，b=3．

所以直線BC的函數關系式為：y=﹣x+3．

當x=1時，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2）．

當x=m時，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3）．

在y=﹣x2+2x+3中，當x=1時，y=4．

∴D（1，4）

當x=m時，y=﹣m2+2m+3，

∴F（m，﹣m2+2m+3）

∴線段DE=4﹣2=2，

線段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m

∵PF∥DE，

∴當PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形．

由﹣m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合題意，舍去）．

因此，當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．

②設直線PF與x軸交于點M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．

=．

m的變化范圍是0≤m≤3．

（3）若以B、C、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形，

①BH為四邊形的邊，則CG//BH

故點G和點C關于直線x=1對稱

∴G(2,3)且CG=2

此時BH=2

∴H1(1,0)或H2(5,0)

②BH為對角線，則此時G的縱坐標為-3

∴﹣x2+2x+3=-3，可得x=.有圖象可知x=舍去

故G(3, )

B、H關于點(,0)

所以H（，0）

綜上，H坐標為H1(1,0)或H2(5,0)或H3（，0）

考點：拋物線的綜合運用