Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是x=-$\frac{3}{2}$且經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B，連結BC．
（1）填空：點A、點B和點C的坐標分別為A（-4，0），B（1，0），C（0，2）；
（2）求證：△AOC∽△COB；
（3）求拋物線解析式；
（4）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連結PA，PC，求△PAC面積的最大值，并求出此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）先求的直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸交點的坐標，然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標；
（2）由點的坐標得出OA=4，OB=1，OC=2，證出$\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OC}$，再由∠AOC=∠COB=90°，即可得出△AOC∽△COB；
（3）設拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x-1），然后將點C的坐標代入即可求得a的值；
（4）設點P、Q的橫坐標為m，分別求得點P、Q的縱坐標，從而可得到線段PQ=-$\frac{1}{2}$m²-2m，然后利用三角形的面積公式可求得S_△PAC=$\frac{1}{2}$×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值，從而可求得點P的坐標；

解答 解：（1）y=$\frac{1}{2}$x+2，
當x=0時，y=2，當y=0時，x=-4，
∴C（0，2），A（-4，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是x=-$\frac{3}{2}$，
∴點B的坐標為1，0）；
故答案為：（-4，0），（1，0），（0，2）．
（2）∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴OA=4，OB=1，OC=2，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OC}$，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB；
（3）∵拋物線y=ax²+bx+c過A（-4，0），B（1，0），
∴可設拋物線解析式為y=a（x+4）（x-1），
又∵拋物線過點C（0，2），
∴2=-4a
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．
（4）設P（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2）．
過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，
∴Q（m，$\frac{1}{2}$m+2），
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）
=-$\frac{1}{2}$m²-2m，
∵S_△PAC=$\frac{1}{2}$×PQ×4，
=2PQ=-m²-4m=-（m+2）²+4，
∴當m=-2時，△PAC的面積有最大值是4，
此時P（-2，3）．

點評 本題是二次函數綜合題目，主要考查的是二次函數與相似三角形的綜合應用，難度較大，解答本題需要同學們熟練掌握二次函數和相似三角形的相關性質．