Question

11．如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求證：BD=DE+CE．
（2）若直線AE旋轉到圖②與圖③位置時，判斷BD與DE，CE的關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形中，由題中條件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，則有一個角及斜邊相等，則可判定Rt△BAD≌Rt△AEC，由三角形全等可得三角形對應邊相等，進而通過線段之間的轉化，可得出結論；
（2）由題中條件同樣可得出Rt△BAD≌Rt△AEC，得出對應線段相等，進而可得線段之間的關系．

解答 （1）證明：∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90，
∴∠ABD=∠EAC．
在Rt△BDA和Rt△AEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠EAC}\\{∠ADB=∠AEC=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAD≌Rt△AEC（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE；

（2）解：BD=DE-CE．
理由：∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在Rt△BDA和Rt△AEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠EAC}\\{∠ADB=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAD≌Rt△AEC（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=DE-AD=DE-CE．

點評 本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．